maths.txt 19/11/2004
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fiches de maths - programme de terminale
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Introduction
fiches de math
CHAPITRE 1 - Cours de terminale
1.1. polynômes et fractions algébriques 1.2. La fonction exponentielle : exp 1.3. La fonction logorithme : log 1.4. La fonction logarithme népérien : ln 1.5. Les nombres complexes 1.6. Dérivation 1.7. Primitives 1.8. Intégration 1.9. Suites numérique 1.10. Dénombrement
1.1. polynômes et fractions algébriques
1.2. La fonction exponentielle : exp
La fonction exponentielle (notée exp ou e) est définie et dérivable sur IR, et sa dérivée lui est égale : (exp)'(x) = exp(x).exp est strictement croissante sur IR. C'est une bijection de IR sur ]0;+oo[.
exp(x) + * e~2,718: base des logarithmes népériens
| ln(exp x) = x
y=1+x x~0 + * exp(a1+..+ap) = exp(a1).exp(a2)..exp(ap)
|* exp(a-b) = exp(a)/exp(b)
1* exp(-b) = 1/exp(b)
* | exp(0)=1 exp(a)^k = exp(ak)
*--+*-+--+--+--+--+-- x a^b = exp(b.ln(a))
O | (exp ° u)' = u'.exp(u)
x
x x x exp(x) e - 1
lim e = 0 lim x.e = 0 lim e = +oo lim ----- = +oo lim ----- =1
x->-oo x->-oo x->+oo x->+oo x x->0 x
1.3. La fonction logorithme : log
La fonction logarithme (notée log) est définie sur l'intervalle ]0;+oo[ . logn est strictement croissante sur ]0;+oo[. C'est une bijection de ]0;+[ sur IR.
x 3 3
log (n ) = x log (10 ) = log (10 ) = 3
n 10
log x
+ * x b
| e log_e(x) log x = ------ log <=> ln
+ * a log a e
|* * b
1* *
* | * log(ab) = log(a)+log(b) a,b > 0
*--+*-+--+--+--*--+--+--+--+-- x log(a/b) = log(a)-log(b)
O | * e log(1/b) = -log(b)
+* log(a1a2..ap) = log(a1)+log(a2)+..+log(ap)
|* log(a^k) = k.log(a) (k app IN)
1.4. La fonction logarithme népérien : ln
La fonction logarithme (ln) reprend les caractéristiques de la fonction log. C'est la primitive, nulle en 1, de la fonction x ---> 1/x . ln'(x) = 1/x (x>0).
| ln(x) e~2,718: base des logarithmes népériens
+ * ln(exp x) = x
| *
1 + - - - * ln(1)=0 ln(a²) = 2.ln(a) si a>0 ou 2ln(-a) a<0
| * | ln(e)=1 _
--+--*--+--+--+--+--+--+-- x ln(\/a) = (ln a^0.5) = (ln a)/2
O | *1 e (ln ° u)' = u'/u
+*
|*
ln(1+x) ln(x)
lim ------- = 1 lim ----- = 0 lim x.ln(x) = 0
x->0 x x->+oo x x->0
1.5. Les nombres complexes
L'ensemble des nombres complexes (C est l'ensemble des nombres de la forme a+ib, avec a et b réels et i² = -1. Soit un nombre complexe z: z=a+ib _ - partie réelle de z: Re(z)=a - conjugué de z: z - partie imaginaire de z: Im(z)=b - module de z: |z| - imaginaire pur z: z=ib - image de z: M(a,b) z=aff(M) (affixe)
(a+ib)+(a'+ib')=(a+a') + i(b+b') z+z'=z'+z; zz'=z'z; z+0=z; 1z=z
(a+ib).(a'+ib')=(aa'-bb') + i(ab'+a'b) z(z'+z'')=zz'+zz''
a+ib=a'+ib' <=> a=a' et b=b' _
a+ib=0 <=> a=0 et b=0 si z=a+ib, le conjugué de z; z=a-ib.
_ ____ _ __ ___ _ __ ___ _ ______ _ __
z=a-ib; z+z'=z+z'; zz'=z.z'; z^n=(z)^n; (z/z')=z/z' z' non nul
|z|= \/a²+b² avec zz = a²+b² |z|²= zz |z|=|-z|=|z|
|z/z'|=|z|/|z'| avec z' non nul |zz'|=|z|.|z'| |z^n|=|z|^n
|z + z'| < |z| + |z'|
| La forme trigonométrique:
b + * M(z) z=2+3i _
| / z=r(cos ø + i sin ø) arg(z) = -ø
+ / r=|z| cos ø = Re(z)/|z| arg(-z) = ø + Pi
| / sin ø = Im(z)/|z|
-> + /¯\ ø=arg(z) arg(z.z')=arg(z) + arg(z') ->
v |/ | arg(z/z')=arg(z) - arg(z') ||OM|| = |z|
--+-->--+--+----------- OM² = cos²ø + sin²ø
O -> a z=z' ssi |z|=|z'| et ø= ø'
u
-> -> -> -> ->
aff(m + n ) = aff(m ) + aff(n ) aff(AB) = aff(B) - aff(A)
translation: z ---> z+w symétrie (O): z ---> -z
-> _ iø'
reflexion (O,u ): z ---> z rotation (O/ø'): z ---> z.e
-> _
reflexion (O,v ): z ---> -z homothétie (O/k): z ---> k.z
L'exponentielle complexe :
iø iø iø iø
e =cos(ø)+ i sin(ø) |e |=1 arg(e )=ø z= r.e
___
i(ø+ø') iø iø' i(ø-ø') iø iø' iø -iø iø
e = e e e = e /e 1/(e ) = e = e
iø iø'
re = r'e <=> r = r' et ø = ø' + 2kPi (avec k un réel)
Formules d'Euler Formule de Moivre
iø -iø iø -iø
e + e e - e n
cos ø = ---------- sin ø = ---------- (cos ø + i.sin ø) = cos(nø)+i.sin(nø)
2 2i
iø n inø
La formule de Moivre n'est autre que la transcription de (e ) = e !
1.6. Dérivation
On dit que d est le nombre dérivé de f en a si pour tout réel h dans I :
f(a+h)-f(a) f(x)-f(a)
lim ----------- = d soit a+h = x lim --------- = d
h->0 h x->a x-a
soit f(a+h) = f(a) + hd + ø(h) [f(a+h)-f(a)]/h = d + ø(h)
f(a+h)=f(a)+h.d+h.ø(h) avec lim ø(h)=0
h->0
Lorsque f admet un nombre dérivé en a, on dit que f est dérivable en a . Lorsque f est dérivable en tout point de I, on dit que f est dérivable sur I .
Formulaire:
____________________________________ ____________________________________
Fonction Dérivée Fonction Dérivée
____________________________________ ____________________________________
a 0 u+v u'+v'
n n-1
x (n app |N) n.x ku ku'
1/x (x<>0) -1/x² uv u'v + uv'
_ _
\/x (x>0) 1/(2.\/x) 1/v -v'/v²
n n-1 u u'v - uv'
1/(x ) (x<>0 n |N) -n/(x ) --- --------
v v²
n n-1
sin x cos x u (n app |N) n.u'.u
cos x -sin x v ° u (v' ° u).u'
tan x 1+tan² x f(ax+b) a.f'(ax+b)
ln(x) (x>0) 1/x ln(u) u'/u
x x u u
e e e e . u'
___________________________________ ____________________________________
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
- si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.
- si f' est (strictement) positive sur I, f est (strictement) croissante sur I
- si f' est (strictement) négative sur I, f est (strictement) décroissante sur I
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I ouvert ( ]...;...[ ).
- si f' s'annule en x0 de I en changeant de signe, f admet un extremum local x0.
- si f admet un extremum local en un point x0 de I, alors f '(x0) = 0 .
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b] et dérivable sur ]a;b[ :
- si f '(x)>0 (x app ]a;b[), f est une bijection de [a;b] sur [f(a);f(b)]
- si f '(x)<0 (x app ]a;b[), f est une bijection de [a;b] sur [f(b);f(a)]
L'équation de la tengente à la courbe représentative de f au point (x0,f(x0)): y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)
Soit f et g deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I . Si f'(x) <= g'(x) et a < b (x,a,b app I), alors f(b)-f(a) <= g(b)-g(a) Si m <= f'(x) <= M et a < b (x,a,b app I), alors m(b-a) <= f(b)-f(a) <= M(b-a) Si |f'(x)| <= M (x,a,b app I), alors |f(b)-f(a)| <= M|b-a|
1.7. Primitives
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une fonction F, définie et dérivable sur I, est appelée une primitive de f si et seulement si sa dérivée est égale à f sur I. (F+k)' = f.
Toute fonction f dérivable sur un intervalle I admet une primitive.
Il existe une unique primitive F0 de f sur I telle que F0(x0) = y0
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [a,b] et telle que |f| admet un majorant M sur [a,b]. f admet alors une primitive F sur [a,b] et on a :
|F(b)-F(a)| <= M|b-a|
________________________________________________________________________________
Fonction Primitive Intervalle
________________________________________________________________________________
a ax |R
x x²/2 |R
n n
x x /(n+1) |R
1/x² -1/x ]-oo;0[ ou ]0;+oo[
n n-1
1/(x ) (n |N*\{1}) -1/[(n-1).x ] ]-oo;0[ ou ]0;+oo[
_ _
1/(\/x) 2.\/x ]0;+oo[
sin x -cos x |R
cos x sin x |R
1+tan² x tan x ]-Pi/2;Pi/2[
1/x ln x ]0,+oo[
e^x e^x |R
u'/(u²) -1/u u dérivable sur I et u(x)<>0 sur I
n n+1
u'.u (n<>-1) u /(n+1) u dérivable sur I
_ _
u'/(2.\/u) \/u u dérivable et stric positive sur I
u'v+uv' uv u et v dérivables sur I
(u'v-uv')/v² u/v u et v dérivables sur I, v(x)<>0 sur I
________________________________________________________________________________
1.8. Intégration
L'intégrale de a à b de f se note, et se lit "somme de a à b de f(t) dt".
_ b _ _ b
| | |
| f(t) dt = | F(t) | = F(b) - F(a)
| | |
¯ a ¯ ¯ a
L'intégrale de a à b de f représente l'aire de la partie du plan située entre la courbe representatrice de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=b , exprimée en unités d'aires.
Relation de Chasles:
_ c _ b _ c
| | |
| f(t) dt = | f(t) dt + | f(t) dt
| | |
¯ a ¯ a ¯ b
Linéarité de l'intégrale:
_ b _ b _ b _ b _ b | | | | | | (f+g)(t) dt = | f(t) dt + | g(t) dt; | k.f(t) dt = k.| f(t) dt | | | | | ¯ a ¯ a ¯ a ¯ a ¯ a
Théorèmes:
_ b _ a _ a
| | |
| f(t) dt = - | f(t) dt | f(t) dt = 0
| | |
¯ a ¯ b ¯ a
si a < b; si m < f(x) < M si a < b; si |f(x)| < M
¯ ¯ ¯ ¯ ¯
_ b | _ b |
| | | |
m(b-a) < | f(t) dt < M(b-a) | | f(t) dt | < M.|b-a|
¯ | ¯ | | | ¯
¯ a | ¯ a |
Valeur moyenne: Intégration par partie:
_ b _ b _ _ b _ b
1 | | | | |
m = --- . | f(t) dt | u(t)v'(t) dt = | u(t) v(t) | - | u'(t)v(t) dt
b-a | | | | |
¯ a ¯ a ¯ ¯ a ¯ a
1.9. Suites Numérique
La suite est définie par la donnée explicite de u indice n.
n 10
(u ) n app IN ex: u = ---- u = 1 u = ---
n n n²+1 0 10 101
La suite est définie par son premier terme u1 et par une relation (de récurence) permettant de passer d'un terme au terme suivant:
u = 2 u = -3.u + 1 1 n+1 n
Soit une suite arithmétique de 1er terme a et de raison r. Montrer qu'une suite est arithmétique revient à calculer la différence entre 2 termes consécutifs.
u = a u = u + r n >= n <=> u - u = r
0 n+1 n 0 n+1 n
k=37 u + u
n(n-1) \¯¯ 5 37
Somme des n 1er termes: S = n.a + ------.r /__ u = -------- . 33
2 k=5 k 2
Soit une suite géométrique de 1er terme a et de raison q. Montrer qu'une suite est géométrique revient à calculer le rapport entre 2 termes consécutifs.
u = a u = u . q n >= n <=> u / u = q
0 n+1 n 0 n+1 n
n
1 - q
Somme des n 1er termes: S = a . ------
1 - q
variation d'une suite: (u_n) est croissante si pour tout n >= n_0 u_n+1 >= u_n (monotone) (u_n) est décroissante si pour tout n >= n_0 u_n+1 <= u_n (monotone) (u_n) est stationnaire si pour tout n >= n_0 u_n+1 = u_n Une suite peut être majorée, minorée, et bornée.
u_n = f(n) si f est croissante sur [n_0 ; +oo[, u_n est croissante. f(n) = u_n produit un effet d'échantillonage.
1.10. Dénombrement
Factorielle de n : n! = n(n-1)(n-2)..3.2.1 (ex: 3!=6, 0!=1).
n
p n! p n! n \¯¯ p n-p p
A = ------ C = -------- (x+y) = /__ C . x . y
n (n-p)! n p!(n-p)! p=0 n
